Question

【題目】已知數列{an}，{bn}滿足a1=1，an+1=2an+1，b1=4，bn﹣bn﹣1=an+1（n≥2）．
（1）求證：數列{an+1}是等比數列；
（2）求數列{an}，{bn}的通項公式．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：由an+1=2an+1得an+1+1=2（an+1），

又an+1≠0，∴ ，即{an+1}為等比數列．

（2）

解：由（1）知an+1=（a1+1）qn﹣1=22n﹣1=2n，

∴ ， ，

將以上n﹣1個式子累加可得 ，又b1=4，

故 ．

【解析】（1）由an+1=2an+1得an+1+1=2（an+1），即可證明．（2）由（1）知an+1=2n ， 可得： ，利用“累加求和”方法與等比數列的求和公式即可得出．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解等比數列的通項公式（及其變式）的相關知識，掌握通項公式：，以及對數列的通項公式的理解，了解如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．