Question

設f(x)=kx-

k

x

-2lnx．
（1）若f'（2）=0，求過點（2，f（2））的切線方程；
（2）若f（x）在其定義域內為單調增函數，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由導數運算公式和求導法則，算出f'（x）的表達式，根據f'（2）=0算出k的值，從而得到切點坐標（2，

6

5

-2ln2），最后根據直線的點斜式方程列式，化簡即得曲線y=f（x）過點（2，f（2））的切線方程；
（2）根據題意，f'（x）≥0在其定義域（0，+∞）上恒成立，采用變量分離的方法并利用不基本不等式求最值，即可解出實數k的取值范圍為[1，+∞）．

解答：解：（1）∵f(x)=kx-

k

x

-2lnx，
∴f′(x)=k+

k

x2

-

2

x

=

kx2-2x+k

x2

∴f'（2）=0即

4k-4+k

4

=0，解之得k=

4

5

，
可得f（2）=2k-

k

2

-2ln2=

6

5

-2ln2
∴曲線y=f（x）過點（2，f（2））的切線方程為y-（

6

5

-2ln2）=0（x-2），化簡得y=

6

5

-2ln2；
（2）由f′(x)=k+

k

x2

-

2

x

=

kx2-2x+k

x2

，令h（x）=kx²-2x+k，
要使f（x）在其定義域（0，+∞）上單調遞增，
只需h（x）在（0，+∞）內滿足：h（x）≥0恒成立．
由h（x）≥0，得kx²-2x+k≥0，即k≥

2x

x2+1

=

2

x+ 1 x

在（0，+∞）上恒成立
∵x＞0，得x+

1

x

≥2，∴

2

x+ 1 x

≤1，得k≥1
綜上所述，實數k的取值范圍為[1，+∞）．-----------（12分）

點評：本題給出含有對數和分母的初等函數，研究了函數圖象的切線和函數的單調區間，著重考查了函數的單調性與導數的關系和利用導數研究曲線上某點切線方程等知識點，屬于中檔題．