Question

設(shè)f(x)=kx-

k

x

-2lnx．
（1）若f'（2）=0，求過(guò)點(diǎn)（2，f（2））的切線方程；
（2）若f（x）在其定義域內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)，求k的取值范圍．

Answer 1

（1）∵f(x)=kx-

k

x

-2lnx，
∴f′(x)=k+

k

x2

-

2

x

=

kx2-2x+k

x2

∴f'（2）=0即

4k-4+k

4

=0，解之得k=

4

5

，
可得f（2）=2k-

k

2

-2ln2=

6

5

-2ln2
∴曲線y=f（x）過(guò)點(diǎn)（2，f（2））的切線方程為y-（

6

5

-2ln2）=0（x-2），化簡(jiǎn)得y=

6

5

-2ln2；
（2）由f′(x)=k+

k

x2

-

2

x

=

kx2-2x+k

x2

，令h（x）=kx²-2x+k，
要使f（x）在其定義域（0，+∞）上單調(diào)遞增，
只需h（x）在（0，+∞）內(nèi)滿足：h（x）≥0恒成立．
由h（x）≥0，得kx²-2x+k≥0，即k≥

2x

x2+1

=

2

x+ 1 x

在（0，+∞）上恒成立
∵x＞0，得x+

1

x

≥2，∴

2

x+ 1 x

≤1，得k≥1
綜上所述，實(shí)數(shù)k的取值范圍為[1，+∞）．-----------（12分）