Question

（2011•許昌三模）設f(x)=kx-

k

x

-2lnx．
（I）若f′ (1)=-

2

5

，求曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程；
（II）若k＞0，試討論f（x）的單調性．

Answer 1

分析：（I）先確定參數k的值，再求導函數，確定切線的斜率，求出切點的坐標，即可得到切線方程；
（II）當k＞0時，分類討論．利用導數的正負，可討論f（x）的單調性．

解答：解：（I）由于f(x)=kx-

k

x

-2lnx，則f′(x)=k+

k

x2

-

2

x

∴f′(1)=k+k-2=-

2

5

，解得k=

4

5

∴f(2)=2×

4

5

-

4 5

2

-2ln2=

6

5

-2ln2且f′(2)=0
∴曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為y-（

6

5

-2ln2）=0（x-1），即y=

6

5

-2ln2；
（II）由（1）知，f′(x)=k+

k

x2

-

2

x

=

kx2-2x+k

x2

（x＞0），
當△＞0，即0＜k＜1時，令f′（x）＞0，可得0＜x＜

1- 1-k2

k

或x＞

1+ 1-k2

k

令f′（x）＜0，可得

1- 1-k2

k

＜x＜

1+ 1-k2

k

；
當△≤0，即k≥1時，f′（x）≥0恒成立．
綜上，當0＜k＜1時，函數的單調增區間為(0，

1- 1-k2

k

)，（

1+ 1-k2

k

，+∞）；
單調減區間為（

1- 1-k2

k

，

1+ 1-k2

k

）；
當k≥1時，函數的單調增區間為（0，+∞）．

點評：本題考查導數知識的運用，考查導數的幾何意義，考查函數的單調性，考查分類討論的數學思想，正確求導是關鍵．