Question

設f(x)=kx-2lnx.

(1)求f(e)+f()(e為自然對數的底數)的值；

(2)若f(x)在其定義域內為單調函數，求k的取值范圍.

Answer 1

解:(1)∵f(x)=kx-2lnx,

又f(e)=ke-2lne=ke-2,f()=-ke-2ln-ke+2,

∴f(e)+f()=0.

(2)方法一：由f(x)=kx-2lnx得

f′(x)=k+=.

令h(x)=kx²-2x+k,要使f(x)在其定義域(0，+∞)上單調,

只需h(x)在(0,+∞)內滿足h(x)≥0或h(x)≤0恒成立.

①由h(x)≥0得kx²-2x+k≥0,即k≥=在x∈(0,+∞)上恒成立.

∵x＞0知x+＞0,∴k≤0.綜上k的取值范圍為k≥1或k≤0.

∵x＞0,∴x+＞2.∴k≥1.

②由h(x)≤0得k≤=在x∈(0,+∞)上恒成立.

∵x＞0知x+＞0,∴k≤0.

綜上k的取值范圍為k≥1或k≤0.

方法二：由f(x)=kx-2lnx,得f′(x)=k+=.

令h(x)=kx²-2x+k,要使f(x)在其定義域(0，+∞)內為單調函數，只需h(x)在(0，+∞)內滿足h(x)≥0或h(x)≤0恒成立

①當k=0時，h(x)=-2x,∵x＞0,∴h(x)＜0.∴f′(x)=＜0.

∴f(x)在(0，+∞)內為單調遞減函數，故k=0適合題意.

②當k＞0時，h(x)=kx²-2x+k,其圖象為開口向上的拋物線，對稱軸為x=∈(0,+∞).

∴h(x)_min=k.只需k≥0,即k≥1時h(x)≥0,f′(x)≥0,

∴f(x)在(0,+∞)內為單調遞增函數，故k≥1適合題意.

③當k＜0時，h(x)=kx²-2x+k,其圖象為開口向下的拋物線，對稱軸為x=(0,+∞),只需k(0)≤0,即k≤0時h(x)≤0,f′(x)≤0,

∴f(x)在(0,+∞)內為單調遞減函數，故k＜0適合題意.

綜上可得，k≥1或k≤0.