Question

13．f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{x}，（x＜1）}\\{（a-3）x+4a，（x≥1）}\end{array}\right.$滿足對任意x₁≠x₂，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0成立，則a的取值范圍是0＜a≤$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 根據題意，函數f（x）在其定義域內是單調減函數，故函數在每一段上是減函數，在整個定義域內也是減函數，故當x＜1時，0＜a＜1，當x≥1時，a-3＜0，且還有a≥（a-3）+4a，解之即可求出a的取值范圍

解答 解：∵對任意x₁≠x₂，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0成立，
∴f（x）在定義域R上為單調遞減函數，
∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{x}，（x＜1）}\\{（a-3）x+4a，（x≥1）}\end{array}\right.$，
∴當x＜1時，0＜a＜1，
當x≥1時，a-3＜0，且a≥（a-3）×1+4a，
即 $\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{a-3＜0}\\{a≥（a-3）×1+4a}\end{array}\right.$，
解得，0＜a≤$\frac{3}{4}$，
∴a的取值范圍是0＜a≤$\frac{3}{4}$，
故答案為：0＜a≤$\frac{3}{4}$．

點評 本題考查單調函數的定義，以及指數函數、一次函數的單調性，同時考查了分段函數單調性的處理方法，一般利用數形結合的數學思想方法，分段函數問題還體現了分類討論的數學思想．屬于中檔題．