Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若對(duì)，都有成立，求的取值范圍；

（3）當(dāng)時(shí)，求在上的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2） (3)

【解析】試題分析：（1）將a=1代入求出函數(shù)的表達(dá)式，通過求導(dǎo)令導(dǎo)函數(shù)大于0，從而求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）問題轉(zhuǎn)化為對(duì)1≤x≤e恒成立．記h（x）=，通過求導(dǎo)得到h（x）的單調(diào)性，從而求出a的范圍；（3）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論當(dāng)0＜x＜ln2k時(shí)，當(dāng)ln2k＜x＜k時(shí)的情況，從而得到函數(shù)f（x）的最大值．

試題解析：

⑴時(shí)， ， ，令，得 ，解得．

所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為．

⑵由題意 對(duì)恒成立，因?yàn)?/span>時(shí)， ， 所以對(duì)恒成立．記，因?yàn)?/span>對(duì)恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，所以在上是增函數(shù)，

所以，因此．

⑶ 因?yàn)?/span>，由，得或（舍）．

可證對(duì)任意恒成立，所以，

因?yàn)?/span>，所以，由于等號(hào)不能同時(shí)成立，所以，于是．

當(dāng)時(shí)， ， 在上是單調(diào)減函數(shù)；

當(dāng)時(shí)， ， 在上是單調(diào)增函數(shù)．

所以，

記， ，以下證明當(dāng)時(shí)， ．

，記， 對(duì)恒成立，

所以在上單調(diào)減函數(shù)， ， ，所以，使，

當(dāng)時(shí)， ， 在上是單調(diào)增函數(shù)；當(dāng)時(shí)， ， 在上是單調(diào)減函數(shù)．又，所以對(duì)恒成立，

即對(duì)恒成立，所以．