Question

【題目】如圖是某幾何體的三視圖.

（1）求該幾何體外接球的體積；

（2）求該幾何體內切球的半徑.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) .

【解析】試題分析：（1）由三視圖可知，幾何體是三條側棱兩兩垂直的三棱錐，以三條兩兩垂直的側棱的長構造一個長方體，則該長方體的對角線長等于其外接球的直徑，算出半徑的長。（2）設內切球的半徑為，球心為，連接，把三棱錐分成四個小三棱錐，由這四個小三棱錐的體積和等于三棱錐的體積，求出內切球的半徑。

試題解析：（1）由三視圖可知，幾何體是三條側棱兩兩垂直的三棱錐，如圖，設為三棱錐.

以為長、寬、高構造一個長方體，則該長方體的對角線長等于其外接球的直徑，

設該外接球半徑為.

∴，∴.

∴外接球的體積為.

（2）設內切球的半徑為，球心為，連接，把三棱錐分成四個小三棱錐，四個小三棱錐的體積和等于三棱錐的體積.

∴ .

解得.

∴所求幾何體內切球的半徑為.