Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的右焦點(diǎn)為，直線(xiàn)為.

（1）求到點(diǎn)和直線(xiàn)的距離相等的點(diǎn)的軌跡方程；

（2）過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)交橢圓于點(diǎn)，，又直線(xiàn)交于點(diǎn)，若，求線(xiàn)段的長(zhǎng)；

（3）已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，，直線(xiàn)交直線(xiàn)于點(diǎn)，且和橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)，使得？若存在，求出實(shí)數(shù)，若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在,,理由見(jiàn)解析

【解析】

（1）設(shè)為,根據(jù)描述利用兩點(diǎn)間距離公式得到,整理即可；

（2）根據(jù)可判斷軸,從而得到,代回橢圓方程解得點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而得到的長(zhǎng)；

（3）先假設(shè)存在,分別聯(lián)立直線(xiàn)與直線(xiàn),直線(xiàn)與橢圓,解出點(diǎn),點(diǎn)坐標(biāo),整理和后即可解出

解：（1）由題,可得為

設(shè)為,點(diǎn)到點(diǎn)和直線(xiàn)的距離相等,

即點(diǎn)的軌跡方程為

（2）設(shè)直線(xiàn)與軸交點(diǎn)為,且

∽

軸,則

將代入中可得,

由橢圓的對(duì)稱(chēng)性可得,

（3）存在,；

假設(shè)存在滿(mǎn)足題意,由題,直線(xiàn)為 ①,

②,橢圓 ③

由①②可得,,，

由①③可得,,，

,

當(dāng)時(shí),