Question

已知P是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上的一個動點，且P與橢圓長軸兩個頂點連線的斜率之積為-

1

2

，則橢圓的離心率為（　　）

• A．

  3

  2

• B．

  2

  2

• C．

  1

  2

• D．

  3

  3

Answer 1

分析：設點P的坐標為（x，y），根據橢圓長軸兩個頂點坐標為（-a，0），（a，0），P與橢圓長軸兩個頂點連線的斜率之積為-

1

2

，可得方程，再利用點P在橢圓上，即可求得橢圓的離心率．

解答：解：設點P的坐標為（x，y），則
∵橢圓長軸兩個頂點坐標為（-a，0），（a，0），P與橢圓長軸兩個頂點連線的斜率之積為-

1

2

，
∴

y

x+a

×

y

x-a

=-

1

2

∴-2y²=x²-a²①
∵

x2

a2

+

y2

b2

=1
∴x2= a2-

a2y2

b2

②
由①②可得a²=2b²
∴e2=

c2

a2

=

a2-b2

a2

=

1

2

∴e=

2

2

∴橢圓的離心率為

2

2

故選B．

點評：本題重點考查橢圓的離心率，解題的關鍵是利用P與橢圓長軸兩個頂點連線的斜率之積為-

1

2

，尋找幾何量之間的關系．