Question

已知P是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上的一點，F₁，F₂為橢圓的左、右焦點，則

1

|PF1|

+

1

|PF2|

的最小值為

2

a

．

Answer 1

分析：利用橢圓的定義及基本不等式，可得|PF1||PF2|≤a2（當且僅當|PF₁|=|PF₂|=a時，等號成立），再利用基本不等式，即可求

1

|PF1|

+

1

|PF2|

的最小值．

解答：解：由題意，|PF₁|+|PF₂|=2a，則
∵|PF1|+|PF2|≥2

|PF1||PF2|

∴|PF1||PF2|≤a2（當且僅當|PF₁|=|PF₂|=a時，等號成立）
∴

1

|PF1|

+

1

|PF2|

≥2

1 |PF1| • 1 |PF2|

≥

2

a

（當且僅當|PF₁|=|PF₂|=a時，等號成立）
∴

1

|PF1|

+

1

|PF2|

的最小值為

2

a

故答案為：

2

a

點評：本題考查橢圓的定義，考查基本不等式的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．