Question

如圖，已知P是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上且位于第一象限的一點，F是橢圓的右焦點，O是橢圓的中心，B是橢圓的上頂點，H是直線x=-

a2

c

（c是橢圓的半焦距）與x軸的交點，若PF⊥OF，HB∥OP，試求橢圓的離心率的平方的值．

Answer 1

分析：依題意，可求得P（c，

b2

a

），H（-

a2

c

，0），利用HB∥OP求得c²=ab，再利用橢圓的性質即可求得e²．

解答：解：依題意，作圖如下：

∵F（c，0）是橢圓的右焦點，PF⊥OF，
∴P（c，

b2

a

），
∴直線OP的斜率k=

b2 a -0

c-0

=

b2

ac

；
又H是直線x=-

a2

c

（c是橢圓的半焦距）與x軸的交點，
∴H（-

a2

c

，0），又B（0，b），
∴直線HB的斜率k′=

b

a2 c

=

bc

a2

；
∵HB∥OP，
∴

b2

ac

=

bc

a2

，
∴c²=ab，又b²=a²-c²，
∴c⁴=a²b²=a²（a²-c²），
∴e⁴+e²-1=0，
∴e²=

5 -1

2

．

點評：本題考查橢圓的性質，利用HB∥OP求得c²=ab是關鍵，考查分析與計算能力，屬于中檔題．