Question

已知P是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上異于長軸端點A、B的任意點，若直線PA、PB的斜率乘積k_PA•k_PB=-

2

3

，則該橢圓的離心率為（　　）

• A．

  3

  3

• B．

  6

  6

• C．

  1

  2

• D．

  2

  2

Answer 1

分析：根據A，B連線經過坐標原點，可得A，B一定關于原點對稱，利用直線PA，PB的斜率乘積，可尋求幾何量之間的關系，從而可求離心率．

解答：解：∵A，B連線經過坐標原點，∴A，B一定關于原點對稱，
設A（x₁，y₁），B（-x₁，-y₁），P（x，y）
∴k_PA•k_PB=

y1-y

x1-x

×

-y1-y

-x1-x

=

y2- y 2 1

x2- x 2 1

∵

x 2

a2

+

y 2

b2

=1，

x12

a2

+

y12

b2

=1，
∴兩方程相減可得

y2- y 2 1

x2- x 2 1

=-

b2

a2

∵k_PA•k_PB=-

2

3

，
∴-

b2

a2

=-

2

3

∴

b2

a2

=

2

3

∴

a2-c2

a2

=

2

3

，

c

a

=

3

3

∴e=

3

3

．
故選A．

點評：本題主要考查橢圓的幾何性質，考查點差法，關鍵是設點代入化簡，應注意橢圓幾何量之間的關系．