Question

定義域為R的函數f(x)=

1 |x-3| 2，x=3

x≠3

，若關于x的方程f²（x）-af（x）+b=0有3個不同實數解x₁，x₂，x₃，且x₁＜x₂＜x₃，則下列說法錯誤的是（　　）

• A、5+b-2a=1
• B、b＜0
• C、x₁-x₂+x₃=3
• D、x₁²+x₂²+x₃²=9

Answer 1

考點：根的存在性及根的個數判斷

專題：函數的性質及應用

分析：令t=f（x），由題意可得關于t的方程t²-at+b=0 只有一個正實數解為t=2．再由

1

|x-3|

=2，求得x的值，可得原方程有3個解x₁、x₂、x₃的值，由此可得結論．

解答： 解：分段函數f（x）的圖象如圖所示：令t=f（x），
∵關于x的方程f²（x）-af（x）+b=0有3個不同實數解
x₁，x₂，x₃，
故關于t的方程t²-at+b=0 只有一個正實數解為t=2，
由

1

|x-3|

=2，求得x=-3.5，或x=3.5，
故原方程有3個解為 x₁=-3.5，x₂=3，x₃=3.5，
顯然D一定不正確，
故選：D．

點評：本題主要考查函數的零點與方程根的關系、函數的圖象等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想，屬于中檔題．