Question

【題目】函數f（x）是定義在區間（0，+∞）上的可導函數，其導函數為f′（x），且滿足xf′（x）+2f（x）＞0，則不等式 的解集為（ ）
A.{x＞﹣2011}
B.{x|x＜﹣2011}
C.{x|﹣2011＜x＜0}
D.{x|﹣2016＜x＜﹣2011}

Answer 1

【答案】D
【解析】解：構造函數g（x）=x2f（x），g′（x）=x（2f（x）+xf′（x））； 當x＞0時，
∵2f（x）+xf′（x）＞0，
∴g′（x）＞0，
∴g（x）在（0，+∞）上單調遞增，
∵不等式 ，
∴x+2016＞0時，即x＞﹣2016時，
∴（x+2016）2f（x+2016）＜52f（5），
∴g（x+2016）＜g（5），
∴x+2016＜5，
∴﹣2016＜x＜﹣2011，
故選：D．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．