Question

【題目】（選做題）[選修4-4：坐標系與參數方程]

已知曲線C的參數方程為 （θ為參數）．以原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標方程．
（1）求曲線C的極坐標方程；
（2）若直線l：θ=α（α∈[0，π），ρ∈R）與曲線C相交于A，B兩點，設線段AB的中點為M，求|OM|的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：曲線C的普通方程為（x+1）2+（y﹣1）2=4，

由x=ρcosθ，y=ρsinθ，得ρ2+2ρcosθ﹣2ρsinθ﹣2=0．

（2）

解：聯立θ=α和ρ2+2ρcosθ﹣2ρsinθ﹣2=0，

得ρ2+2ρ（cosα﹣sinα）﹣2=0，

設A（ρ1，α），B（ρ2，α），

則ρ1+ρ2=2（cosα﹣sinα）=2 ，

由|OM|= ，得|OM|= ，

當α= 時，|OM|取最大值 ．

【解析】（ I）利用平方關系可得曲線C的普通方程，把x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入即可得出．（II）聯立θ=α和ρ2+2ρcosθ﹣2ρsinθ﹣2=0，得ρ2+2ρ（cosα﹣sinα）﹣2=0，設A（ρ1 ， α），B（ρ2 ， α），可得ρ1+ρ2=2（cosα﹣sinα）=2 ，即可得出．