Question

18．若命題“任意x∈R，ax²+2x+a≥0”為真命題，則實數a的取值范圍是a≥1．

Answer 1

分析 由任意x∈R，ax²+2x+a≥0，可知當a=0時，不等式化為x≥0，不合題意；當a≠0時，則有不等式左邊的二次三項式所對應的二次函數開口向上，且判別式小于等于0，由此列不等式組求解．

解答 解：∵任意x∈R，ax²+2x+a≥0，
∴當a=0時，不等式化為x≥0，不合題意；
當a≠0時，要使任意x∈R，ax²+2x+a≥0恒成立，
則$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{{2}^{2}-4{a}^{2}≤0}\end{array}\right.$，解得：a≥1．
∴實數a的取值范圍是a≥1．
故答案為：a≥1．

點評 本題考查命題的真假判斷與應用，考查恒成立問題的求解方法，體現了“分類討論”的數學思想方法，是中檔題．