Question

若直線過點P（-3，-

3

2

），且被圓x²+y²=25截得的弦長是8，則這條直線的方程是（　　）

• A、3x+4y+15=0
• B、x=-3或y=-

  3

  2

• C、x=-3
• D、x=-3或3x+4y+15=0

Answer 1

分析：根據垂徑定理及勾股定理，由圓的半徑和截得的弦長的一半求出弦心距，即圓心到直線的距離等于所求的弦心距，分斜率存在和不存在兩種情況：當斜率存在時，設直線的斜率為k，根據P的坐標寫出直線的方程，利用點到直線的距離公式表示出圓心到直線的距離d，讓d等于求出的弦心距列出關于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，確定出所求直線的方程；當斜率不存在時，因為圓心到直線x=-3的距離等于弦心距3，顯然直線x=-3滿足題意，綜上，得到滿足題意的兩直線的方程．

解答：解：由圓的方程x²+y²=25，得到圓心坐標為（0，0），半徑r=5，
又直線被圓截得的弦長為8，根據垂徑定理得到圓心到直線的距離即弦心距為

52-42

=3，
當所求直線的斜率存在時，設直線的方程為：y+

3

2

=k（x+3）即kx-y+3k-

3

2

=0，
所以圓心到直線的距離d=

|3k- 3 2 |

1+k2

=3，
化簡得：9k=

9

4

-9即k=-

3

4

，所以所求直線的方程為：3x+4y+15=0；
當所求直線的斜率不存在時，顯然所求直線的方程為：x=-3，
綜上，滿足題意的直線方程為x=-3或3x+4y+15=0．
故選D

點評：此題考查學生掌握垂徑定理及勾股定理，靈活運用點到直線的距離公式化簡求值，考查了分類討論的數學數學思想，是一道中檔題．學生容易把斜率不存在的情況忽視．