Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的中心為O，左焦點為F，P是雙曲線上的一點

OP

•

PF

=0且4

OP

•

OF

=

OF

2，則該雙曲線的離心率是（　　）

• A、

  10 - 2

  2

• B、

  10 + 2

  2

• C、

  7

  -

  3

• D、

  7

  +

  3

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：通過向量的垂直，向量的數量積得到∠FOP=60°，設雙曲線另一個焦點為F'，則在△POF'中，利用余弦定理以及雙曲線的定義，即可求出雙曲線的離心率．

解答： 解：∵

OP

•

PF

=0，∴

OP

⊥

PF

，∴4

OP

•

OF

=4|

OP

|•|

OF

|•

| OP |

| OF |

=4|

OP

|2=c2，
∴|

OP

|=

1

2

c，∠FOP=60°，
設雙曲線另一個焦點為F'，則在△POF'中，
由余弦定理可得|PF′|=

7

2

c，又|PF|=

3

2

c，
由雙曲線定義得

7

2

c-

3

2

c=2a，
所以離心率e=

7

+

3

，
故選D

點評：本題考查雙曲線的簡單性質的應用，向量的數量積的應用，基本知識的考查．