Question

8．已知f（x）=x²-4x+3，g（x）=mx+5-2m，若對任意的x₁∈[1，4]，總存在x₂∈[1，4]，使f（x₁）=g（x₂）成立，則實數m的取值范圍是（-∞，-3]∪[6，+∞）．

Answer 1

分析 根據對任意的x₁∈[-1，2]，總存在x₂∈[-1，2]，使得g（x₁）=f（x₂），可得兩個函數值域的包含關系，進而根據關于m的不等式組，解不等式組可得答案．

解答 解：∵f（x）=x²-4x+3，h函數的對稱軸為：x=2，
對任意的x₁∈[1，4]，記f（x）∈[-1，3]．記A=[-1，3]
由題意，知m=0時成立，
當m＞0時，g（x）=mx+5-2m，在[1，4]上是增函數，
∴g（x）∈[5-m，2m+5]，記B=[5-m，2m+5]．
由題意，知B?A
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1≥5-m}\\{2m+5≥3}\end{array}\right.$，解得m≥6．
當m＜0時，g（x）=mx+5-2m，在[1，4]上是減函數，
∴g（x）∈[2m+5，5-m]，記C=[2m+5，5-m]．
由題意，知C?A
∴$\left\{\begin{array}{l}{2m+5≤-1}\\{5-m≥4}\end{array}\right.$，解得m≤-3．
綜上所述，m∈（-∞，-3]∪[6，+∞）．
故答案為：（-∞，-3]∪[6，+∞）．

點評 本題考查的知識點是二次函數的圖象和性質，存在性問題，是函數圖象和性質的綜合應用，其中存在性問題轉化為值域的包含關系難度較大．