Question

【題目】若拋物線(xiàn)y2=2px上恒有關(guān)于直線(xiàn)x+y﹣1=0對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)A，B，則p的取值范圍是（ ）
A.（﹣ ，0）
B.（0， ）
C.（0， ）
D.（﹣∞，0）∪（ ，+∞）

Answer 1

【答案】C
【解析】解：設(shè)A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）， 因?yàn)辄c(diǎn)A和B在拋物線(xiàn)上，所以有 ①
②
①﹣②得， ．
整理得 ，
因?yàn)锳，B關(guān)于直線(xiàn)x+y﹣1=0對(duì)稱(chēng)，所以kAB=1，即 ．
所以y1+y2=2p．
設(shè)AB的中點(diǎn)為M（x0 ， y0），則 ．
又M在直線(xiàn)x+y﹣1=0上，所以x0=1﹣y0=1﹣p．
則M（1﹣p，p）．
因?yàn)镸在拋物線(xiàn)內(nèi)部，所以 ．
即p2﹣2p（1﹣p）＜0，解得0＜p＜ ．
所以p的取值范圍是（ ）．
故選C．