Question

【題目】已知橢圓C： （a＞b＞0）的離心率為 ，短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為 ． （Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為 ，求△AOB面積的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的半焦距為c，依題意 ∴b=1，∴所求橢圓方程為 ． （Ⅱ）設(shè)A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）．
①當(dāng)AB⊥x軸時(shí)， ．
②當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m．
由已知 ，得 ．
把y=kx+m代入橢圓方程，整理得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣3=0，
∴ ， ．
∴|AB|2=（1+k2）（x2﹣x1）2
=
=
=
=
= ．
當(dāng)且僅當(dāng) ，即 時(shí)等號(hào)成立．當(dāng)k=0時(shí)， ，
綜上所述|AB|max=2．∴當(dāng)|AB|最大時(shí)，△AOB面積取最大值
【解析】（Ⅰ）設(shè)橢圓的半焦距為c，依題意求出a，b的值，從而得到所求橢圓的方程．（Ⅱ）設(shè)A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）．（1）當(dāng)AB⊥x軸時(shí)， ．（2）當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m．由已知 ，得 ．把y=kx+m代入橢圓方程，整理得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣3=0，然后由根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解．