Question

設A=[-1，1]，B=[-

2

2

，

2

2

]，函數f（x）=2x²+mx-1．
（1）設不等式f（x）≤0的解集為C，當C⊆（A∪B）時，求實數m取值范圍；
（2）若對任意x∈R，都有f（1+x）=f（1-x）成立，試求x∈B時，f（x）的值域；
（3）設g（x）=|x-a|-x²-mx（a∈R），求f（x）+g（x）的最小值．

Answer 1

分析：（1）依題意，C⊆A∪B=A=[-1，1]，二次函數f（x）=2x²+mx-1圖象開口向上，且△=m²+8＞0恒成立，圖象始終與x軸有兩個交點?

f(-1)≥0 f(1)≥0 -1＜- m 4 ＜1

，從而可求得實數m取值范圍；
（2）由于f（x）象關于直線x=1對稱，可得m=-4，由f（x）=2（x-1）²-3為[-

2

2

，

2

2

]上減函數可求得x∈B時，f（x）的值域；
（3）令φ（x）=f（x）+g（x），則φ（x）=x²+|x-a|-1，分x≤a與x≥a先去掉絕對值符號，再根據其對稱軸對a分類討論，利用函數的單調性即可求得答案．

解答：解：（1）∵A=[-1，1]，B=[-

2

2

，

2

2

]，C⊆A∪B=A，二次函數f（x）=2x²+mx-1圖象開口向上，且△=m²+8＞0恒成立，
故圖象始終與x軸有兩個交點，由題意，要使這兩個交點橫坐標x₁，x₂∈[-1，1]，當且僅當：

f(-1)≥0 f(1)≥0 -1＜- m 4 ＜1

，…（4分），解得：-1≤m≤1  …（5分）
（2）對任意x∈R都有f（1+x）=f（1-x），所以f（x）象關于直線x=1對稱，所以-

m

4

=1，得m=-4．（7分）
所以f（x）=2（x-1）²-3為[-

2

2

，

2

2

]上減函數．f（x）_min=-2

2

；f（x）_max=2

2

．故x∈B時，f（x）值域為[-2

2

，2

2

]．…（9分）
（3）令φ（x）=f（x）+g（x），則φ（x）=x²+|x-a|-1，
（i）當x≤a時，φ（x）=x²-x+a-1=(x-

1

2

)2+a-

5

4

，
當a≤

1

2

，則函數φ（x）在（-∞，a]上單調遞減，從而函數φ（x）在（-∞，a]上的最小值為φ（a）=a²-1．
若a＞

1

2

，則函數φ（x）在（-∞，a]上的最小值為φ（

1

2

）=-

5

4

+a，且φ（-

1

2

）≤φ（a）．（12分）
（ii）當x≥a時，函數φ（x）=x²+x-a-1=(x+

1

2

)2-a-

5

4

，
若a≤-

1

2

，則函數φ（x）在（-∞，a]上的最小值為φ（-

1

2

）=-

5

4

-a，且φ（-

1

2

）≤φ（a），
若a＞-

1

2

，則函數φ（x）在[a，+∞）上單調遞增，
從而函數φ（x）在[a，+∞）上的最小值為φ（a）=a²-1．…（15分）
綜上，當a≤-

1

2

時，函數φ（x）的最小值為-

5

4

-a，當-

1

2

＜a≤

1

2

時，函數φ（x）的最小值為a²-1；當a＞

1

2

時，函數φ（x）的最小值為-

5

4

+a．        …（16分）

點評：本題考查帶絕對值的函數，考查集合關系中的參數取值問題，突出考查二次函數的性質，考查綜合分析與運算能力，考查分類討論思想，化歸思想，方程思想的運用，屬于難題．