Question

已知向量

u

=(x，y)與

v

=(y，2y-x)的對應關系用

v

=f(

u

)表示．
（Ⅰ）設

a

=(1，1)，

b

=(1，0)，求向量f(

a

)及f(

b

)的坐標；
（Ⅱ）求使f(

c

)=(p，q)，（p，q為常數）的向量

c

的坐標；
（Ⅲ）證明：對于任意向量

a

，

b

及常數m，n恒有f(m

a

+n

b

)=mf(

a

)+nf(

b

)成立．

Answer 1

分析：（I）由已知中向量

u

=(x，y)與

v

=(y，2y-x)的對應關系用

v

=f(

u

)表示，我們根據

a

=(1，1)，

b

=(1，0)，易得向量f(

a

)及f(

b

)的坐標；
（II）設

c

=（x，y），根據f(

c

)=(p，q)，我們可以構造關于x，y的方程，解方程即可求出向量

c

的坐標；
（Ⅲ）設

a

=(a1，a2)，

b

=(b1，b2)，分別求出f(m

a

+n

b

)和mf(

a

)+nf(

b

)的坐標，比照后即可得到結論．

解答：解：（I）由已知得f(

a

)=（1，1），f(

b

)=（0，-1）
（II）設

c

=（x，y），則f(

c

)=(y，2y-x)=(p，q)，
∴y=p，x=2p-q，即

c

=（2P-q，p）．
（III）設

a

=(a1，a2)，

b

=(b1，b2)，則m

a

+n

b

=(ma1+nb1，ma2+nb2)，
故　f(m

a

+n

b

)=(ma2+nb2，2ma2+2nb2-ma1-nb1)=m（a₂，2a₂-a₁）+n（b₂，2b₂-b₁），
∴f(m

a

+n

b

)=mf(

a

)+nf(

b

)

點評：本題考查的知識點是平面向量的坐標運算，其中正確理解新定義向量

u

=(x，y)與

v

=(y，2y-x)的對應關系用

v

=f(

u

)表示是解答本題的關鍵．