Question

已知角α∈（0，π），向量

m

=(2 ， cosα)，

n

=(cos2α ， 1 )，且

m

•

n

=1，f(x)=

3

sinx+cosx．
（Ⅰ）求角α的大小；（Ⅱ）求函數f（x+α）的單調遞減區間．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根據

m

•

n

=1把

m

和

n

代入即可求得cosα，進而求得α的值．
（Ⅱ）先對函數f（x）化簡整理得f(x)=2sin(x+

π

6

)，把x=α代入f（x+α）再根據正弦函數的單調性即可得到函數f（x+α）的單調遞減區間．

解答：解：（Ⅰ）∵

m

=(2 ， cosα)，

n

=(cos2α ， 1 )，且

m

•

n

=1，
∴2cos²α+cosα=1即2cos²α+cosα-1=0
∴cosα=

1

2

或cosα=-1，
∵角α∈（0，π），∴cosα=

1

2

?α=

π

3

，
（Ⅱ）∵f(x)=

3

sinx+cosx=2(

3

2

sinx+

1

2

cosx)=2sin(x+

π

6

)
∴f(x+α)=f(x+

π

3

)=2sin(x+

π

6

+

π

3

)=2sin(x+

π

2

)=2cosx
∴函數f（x+α）的單調遞減區間為[2kπ，2kπ+π]k∈Z

點評：本題主要考查正弦函數的單調性和向量的基本運算．考查了學生綜合運用所學知識的能力．