Question

已知角α，β∈（0，），且tan（α+β）=-3，sinβ=2sin（2α+β），則α=________．

Answer 1

分析：由題意可得sin[（α+β）-α]=2sin[（α+β）+α]，利用兩角和差的正弦公式以及同角三角函數的基本關系求出tanα=1，再由角α的范圍求得α的值．
解答：∵sinβ=2sin（2α+β），∴sin[（α+β）-α]=2sin[（α+β）+α]，
∴sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα=2sin（α+β）cosα+2cos（α+β）sinα，
化簡可得 sin（α+β）cosα=-3cos（α+β）sinα，即 tan（α+β）=-3tanα，
即tan（α+β）=-3，化簡可得tanα=1．
再由角α，β∈（0，），可得α=，
故答案為 ．
點評：本題主要考查兩角和差的正弦公式的應用，同角三角函數的基本關系，根據三角函數的值求角，屬于中檔題．