Question

已知角α，β∈（0，

π

2

），且tan（α+β）=-3，sinβ=2sin（2α+β），則α=

π

4

．

Answer 1

分析：由題意可得sin[（α+β）-α]=2sin[（α+β）+α]，利用兩角和差的正弦公式以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出tanα=1，再由角α的范圍求得α的值．

解答：解：∵sinβ=2sin（2α+β），∴sin[（α+β）-α]=2sin[（α+β）+α]，
∴sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα=2sin（α+β）cosα+2cos（α+β）sinα，
化簡可得 sin（α+β）cosα=-3cos（α+β）sinα，即 tan（α+β）=-3tanα，
即tan（α+β）=-3，化簡可得tanα=1．
再由角α，β∈（0，

π

2

），可得α=

π

4

，
故答案為

π

4

．

點評：本題主要考查兩角和差的正弦公式的應(yīng)用，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，根據(jù)三角函數(shù)的值求角，屬于中檔題．