Question

已知函數f（x）=ax-lnx，g（x）=

lnx

x

，a∈R
（1）當a=g′（1）時，討論函數f（x）的單調區間
（2）當x∈[0，e]時，是否存在實數a，使f（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,利用導數求閉區間上函數的最值

專題：導數的綜合應用

分析：（1）先函數g（x）導數，再代入求出a的值，再利用導數求函數單調區間．
（2）分類討論，確定函數f（x）在區間（0，e]上的單調性，從而可得函數的最小值，利用最小值是3，建立方程，即可求得結論．

解答： 解：（1）∵g（x）=

lnx

x

，
∴g′（x）=

1-lnx

x2

，
∴a=g′（1）=1，
∴f（x）=x-lnx，x＞0，
∴f′（x）=1-

1

x

=

x-1

x

，
令f′（x）=0，解得x=1，
當f′（x）＞0時，即x＞1，函數遞增，
當f′（x）＜0時，即0＜x＜1，函數遞減，
故函數f（x）在（1，+∞）為增函數，在（0，1）上為減函數
（2）假設存在實數a，使f（x）在區間（0，e]的最小值是3，
①當a≤0時，∵x∈（0，e]，∴f′（x）＜0，∴f（x）在區間（0，e]上單調遞減
∴f（x）_min=f（e）=ae-1=3，∴a=

4

e

（舍去）；
②當0＜

1

a

＜e時，f（x）在區間（0，

1

a

）上單調遞減，在（

1

a

，e]上單調遞增
∴f（x）_min=f（

1

a

）=1+lna=3，∴a=e²，滿足條件；
③當時

1

a

≥e，∵x∈（0，e]，∴f′（x）＜0，∴f（x）在區間（0，e]上單調遞減
∴f（x）_min=f（e）=ae-1=3，∴a=

4

e

（舍去），
綜上所述，存在實數a=e²，使f（x）在區間（0，e]的最小值是3．

點評：本題主要考查利用函數的單調性研究函數的單調性問題，運算量較大，綜合性較強．