Question

P：x²-8x-20≤0，Q：x²-2x+1-m²≤0
（1）若P是Q的充分不必要條件，求m的范圍；
（2）若S：“P是Q的充分不必要條件”，T：“0＜m＜10“，滿足S或T為真，“S且T”為假，求m的范圍．

Answer 1

考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷,復合命題的真假

專題：簡易邏輯

分析：（1）首先，根據P：x²-8x-20≤0，得-2≤x≤10，根據Q：x²-2x+1-m²≤0，得[x-（1+m）][x-（1-m）]≤0，然后，對m的取值情況進行討論；
（2）結合復合命題的真假，分為若S真T假時，

m≤-9或m≥9 m≤0或m≥10

，和若S假T真兩種情形進行討論．

解答： 解：根據P：x²-8x-20≤0，得
-2≤x≤10，
根據Q：x²-2x+1-m²≤0，得
[x-（1+m）][x-（1-m）]≤0，①
（1）當m=0時，根據不等式①得到x=1，顯然不滿足條件，
當m＞0時，根據不等式①得，
1-m≤m≤1+m，
∵P是Q的充分不必要條件，
∴

1-m≤-2 1+m≥10

，
∴

m≥3 m≥9

，
∴m≥9．
當m＜0時，根據不等式①得，
1+m≤m≤1-m，
∵P是Q的充分不必要條件，

1+m≤-2 1-m≥10

，
∴

m≤-3 m≤-9

，
∴m≤-9，
∴m的范圍（-∞，-9]∪[9，+∞）．
（2）∵S或T為真，“S且T”為假，
∴S和T必一真一假，
若S真T假時，

m≤-9或m≥9 m≤0或m≥10

，
∴m的范圍（-∞，-9]∪[10，+∞）．
若S假T真時，

-9＜m＜9 0＜m＜10

，
∴m的范圍（0，9）．
∴m的范圍（-∞，-9]∪（0，9）∪[10，+∞）．

點評：本題重點考查了充分條件、必要條件、充要條件的判斷和應用，屬于中檔題．