Question

4．在△ABC中，sin²A≤sin²B+sin²C-sin Bsin C，則sinA的取值范圍是（　　）

• A． （0，$\frac{1}{2}$]
• B． （0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]
• C． [$\frac{1}{2}$，1）
• D． [$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1）

Answer 1

分析 利用正弦定理化簡已知的不等式，再利用余弦定理表示出cosA，將得出的不等式變形后代入表示出的cosA中，得出cosA的范圍，由A為三角形的內角，根據余弦函數的圖象與性質即可求出A的取值范圍，進而可求sinA的取值范圍．

解答 解：利用正弦定理化簡sin²A≤sin²B+sin²C-sinBsinC得：a²≤b²+c²-bc，
變形得：b²+c²-a²≥bc，
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$≥$\frac{bc}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
又A為三角形的內角，
則A的取值范圍是（0，60°]，可得：sinA的取值范圍是（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]．
故選：B．

點評 此題考查了正弦、余弦定理，特殊角的三角函數值，以及余弦函數的圖象與性質，熟練掌握正弦、余弦定理是解本題的關鍵，屬于基礎題．