Question

【題目】已知圓及點．

（Ⅰ）若線段的垂直平分線交圓于兩點，試判斷四邊形的形狀，并給與證明；

（Ⅱ）過點的直線與圓交于兩點，當的面積最大時，求直線的方程．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）菱形，證明見解析；（Ⅱ）或．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）首先根據條件求出、的中點的坐標，然后結合可得四邊形為菱形；（Ⅱ）當直線的斜率不存在時，可直接求出的面積；當直線的斜率存在時，首先設直線的方程，然后利用點到直線的距離公式與弦長公式求得的面積的表面式，再利用基本不等式可求得面積的最大值，從而求得直線的斜率，進而得到直線的方程．

試題解析：（Ⅰ）四邊形為菱形

證明如下：

的中點為，設，,

設的垂直平分線為，代入圓得

，∴的中點為，則四邊形為平行四邊形，

又，∴四邊形為菱形．

（Ⅱ）當直線的斜率不存在時，的方程為，則的坐標為，，

所以．

當直線的斜率存在時，設的方程為,

則圓心到直線的距離為

由平面幾何知識得

∴

當且僅當，即時，取得最大值．

，所以的最大值為，

此時，由，解得或，

此時直線的方程為或．