Question

【題目】已知函數，其中．

（1）當時，求證：時，；

（2）試討論函數的零點個數．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）當時，有兩個零點；當時；有且僅有一個零點．

【解析】

試題分析：（1）首先將代入函數解析式，然后令，再通過求導得到的單調性，從而使問題得證；（2）首先求得，然后求得時的值，再對分類討論，通過構造函數，利用導數研究函數單調性極值與最值，即可得出函數零點的個數．

試題解析：（1）當時，令（），則，

當時，，，，此時函數遞增，

當時，，當時，………①

（2）………②，令，得，，

（i）當時，，由②得……③

當時，，，，此時，函數為增函數，

時，，，時，，

故函數，在上有且只有一個零點；

（ii）當時，，且，

由②知，當，，，，

此時，；同理可得，當，；當時，；

函數的增區間為和，減區間為

故，當時，，當時，

函數，有且只有一個零點；

又，構造函數，，則

……④，易知，對，，函數，

為減函數，

由，知，……⑤

構造函數（），則，當時，，當

時，，函數的增區間為，減區間為，，

有，則，

，當時，……⑥

而……⑦

由⑥⑦知……⑧

又函數在上遞增，

由⑤⑧和函數零點定理知，，使得

綜上，當時，函數有兩個零點，

綜上所述：當時，函數有兩個零點，

當時，函數有且僅有一個零點．