Question

6．在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，AA₁=1，E、F分別為BC、CC₁的中點，則直線EF與平面BB₁D₁D所成角的正弦值為（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{6}}}{3}$
• B． $\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$
• C． $\frac{{\sqrt{15}}}{5}$
• D． $\frac{{\sqrt{10}}}{5}$

Answer 1

分析 以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出直線EF與平面BB₁D₁D所成角的正弦值．

解答 解：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，
∵在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，AA₁=1，E、F分別為BC、CC₁的中點，
∴E（1，2，0），F（0，2，$\frac{1}{2}$），D（0，0，0），B（2，2，0），D₁（0，0，1），
$\overrightarrow{DB}$=（2，2，0），$\overrightarrow{D{D}_{1}}$=（0，0，1），$\overrightarrow{EF}$=（-1，0，$\frac{1}{2}$），
設平面BB₁D₁D的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=2x+2y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{D}_{1}}=z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，0），
設直線EF與平面BB₁D₁D所成角為θ，
則sinθ=|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{EF}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{EF}|}$=$\frac{1}{\sqrt{\frac{5}{4}}•\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
∴直線EF與平面BB₁D₁D所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
故選：D．

點評 本題考查線面角的正弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉化思想、考查函數與方程思想、數形結合思想，是中檔題．