Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，求下列條件下數列的通項公式a_n．
（1）S_n=2•5ⁿ-2；
（2）若S₁=1，S_n+1=3S_n+2．

Answer 1

考點：數列遞推式

專題：點列、遞歸數列與數學歸納法

分析：（1）由S_n=2•5ⁿ-2，構造方程組，利用作差法即可求出數列的通項公式．
（2）若S₁=1，S_n+1=3S_n+2，構造方程組，利用作差法即可求出數列的通項公式．

解答： 解：（1）當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2•5ⁿ-2-2•5^n-1+2=8•5^n-1；
當n=1時，a₁=S₁=2•5-2=8，滿足a_n=8•5^n-1，
故數列的通項公式a_n=8•5^n-1．
（2）若S₁=1，S_n+1=3S_n+2．
則當n≥2時，S_n=3S_n-1+2，
兩式作差得S_n+1-S_n=3S_n+2-3S_n-2，
即a_n+1=3a_n，
當n=1時，S₂=3S₁+2=3+2=5，
即a₁+a₂=5，解得a₂=5-1=4，
則a₂=4a₁，不滿足a_n+1=3a_n，
則當n≥2時，數列{a_n}是以a₂=4為首項，公比q=3的等比數列，
則a_n=4×3^n-2，（n≥2），
則數列的通項公式a_n=

1， n=1 4×3n-2， n≥2

．

點評：本題主要考查數列的通項公式的求解，根據數列的遞推關系進行求解即可．