Question

在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知3bcosC=c（1-3cosB）．
（1）求

sinA

sinC

的值；
（2）若cosB=

1

6

，△ABC的周長為14，求b的長．

Answer 1

考點：余弦定理,正弦定理

專題：解三角形

分析：（1）由3bcosC=c（1-3cosB）．利用正弦定理可得

cosA-3cosC

cosB

=

3sinC-sinA

sinB

．化簡整理即可得出．
（2）由

sinA

sinC

=

1

3

得c=3a．再利用余弦定理及cos B=

1

6

即可得出．

解答： 解：（1）由正弦定理，設

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=k，
∵3bcosC=c（1-3cosB）．
∴

cosA-3cosC

cosB

=

3sinC-sinA

sinB

．
即3sinBcosC=sinC（1-3cosB），
化簡可得 sinC=3sin（B+C）
又A+B+C=π，
∴sin C=3sin A，因此

sinA

sinC

=

1

3

．
（2）由

sinA

sinC

=

1

3

得c=3a．
由余弦定理及cosB=

1

6

得
b²=a²+c²-2accosB=a²+9a²-6a²×

1

6

=9a²．
∴b=3a．又a+b+c=14．從而a=2，因此b=6．

點評：本題查克拉正弦定理余弦定理的應用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．