Question

設有數列{an}，a1=，若以a1，a2，a3，……，an中相鄰兩項為系數的二次方程an－1x2－anx+1=0都有相同的根α、β，且滿足3α－αβ＋3β=1，

（1）求證：{an－}是等比數列；

（2）求數列{an}的通項公式；

（3）求數列{an}的前5項和S5.

Answer 1

（1）見解析；（2）an＝（）n＋；（3）

【解析】

試題分析：（1）等比數列的判定方法：（1）定義法：若＝q（q為非零常數，n∈N*）或＝q（q為非零常數且n≥2，n∈N*），則數列{an}是等比數列．（2）等比中項法：若數列{an}中，an≠0且＝an·an＋2（n∈N*），則數列{an}是等比數列．（2）利用第一問即可求解；（3）利用數列求和中的分組求和法解覺.

試題解析：數列{an}，，若以a1，a2，a3，……，an中相鄰兩項為系數的且滿足

（1）∵二次方程an－1x2－anx＋1＝0有實數根αn、βn，

∴ ，代入3（αn＋βn）－αnβn＝1得an＝an－1＋，

∴ ＝＝ （定值），∴ 數列{an－}是等比數列；

（2）a1＝，a1－＝，又數列{an－}是公比為的等比數列，

∴an－＝（a1－）·（）n－1＝（）n，∴ an＝（）n＋；

（3）S5＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5

＝（＋）＋[（）2＋]＋[（）3＋]＋[（）4＋]＋[（）5＋]

＝＋（）2＋（）3＋（）4＋（）5＋

＝＋＝＋=.

考點：數列及其綜合應用