Question

8．（1）解不等式|x-2|+|x-5|＜5；
（2）如果關于x的不等式|x-2|+|x-5|＜a的解集不是空集，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）把要解的不等式等價轉化為與之等價的三個不等式組，求出每個不等式組的解集，再取并集，即得所求．
（2）利用絕對值三角不等式，求得|x-2|+|x-5|的最小值，可得實數a的取值范圍．

解答 解：（1）不等式|x-2|+|x-5|＜5，
等價于$\left\{\begin{array}{l}{x＜2}\\{2-x+5-x＜5}\end{array}\right.$ ①或，$\left\{\begin{array}{l}{2≤x≤5}\\{x-2+5-x＜5}\end{array}\right.$②，或$\left\{\begin{array}{l}{x＞5}\\{x-2+x-5＜5}\end{array}\right.$③．
解①求得1＜x＜2，解②求得2≤x≤5，解③求得5＜x＜6，
故原不等式的解集為（1，6）．
（2）令y=|x-2|+|x-5|≥|x-2-（x-5）|=3，可得y_min=3，所以a＞3．

點評 本題主要考查絕對值不等式的解法，絕對值三角不等式，函數的恒成立問題，屬于中檔題．