Question

已知函數y=f（x）是定義在R上的偶函數，f（2）=0，且當x∈（-∞，0）時，f（x）+xf′（x）＜0成立（其中f′（x）是f（x）的導函數），則不等式xf（x）＞0的解集是

 

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Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性

專題：導數的綜合應用

分析：利用當x＜0時，f（x）+xf'（x）＜0，化為（xf（x））'＜0，令y=xf（x），通過函數是減函數，偶函數，轉化求解xf（x）＞0解集即可．

解答： 解：當x＜0時，f（x）+xf'（x）＜0，即（xf（x））'＜0，
令y=xf（x），
則函數y=xf（x）在區間（-∞，0）上為減函數，
又f（x）在定義域上是偶函數，
∴函數y=xf（x）在定義域上是奇函數，且2f（-2）=2f（2）=0，
則xf（x）＞0在（-∞，0）上的解集是（-∞，-2），
∴xf（x）＞0的解集是（-∞，-2）∪（0，2）．
故答案為：（-∞，-2）∪（0，2）

點評：本題考查函數的導數的應用，函數的對稱性、單調性、奇偶性的應用，考查轉化思想以及計算能力．