Question

在1，2，3，4，5的所有排列a₁，a₂，a₃，a₄，a₅中，
（1）求滿足a₁＜a₂，a₂＞a₃，a₃＜a₄，a₄＞a₅的概率；
（2）記ξ為某一排列中滿足a_i=i（i=1，2，3，4，5）的個數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（1）本題是一個古典概型，試驗發(fā)生包含的所有的排列種數(shù)有A₅⁵．滿足條件的事件中，若a₁，a₃，a₅取集合{1，2，3}中的元素，a₂，a₄取集合{4，5}中的元素，都符合要求，若a₁，a₃，a₅取集合{1，2，4}中的元素，a₂，a₄取集合{3，5}中的元素，列舉出結(jié)果，得到概率．
（2）ξ為某一排列中滿足a_i=i（i=1，2，3，4，5）的個數(shù)，由題意知ξ可以取0，1，2，3，5．結(jié)合變量對應(yīng)的事件，寫出變量的分布列，和期望．

解答：解：（1）由題意知，本題是一個古典概型，
試驗發(fā)生包含的所有的排列種數(shù)有A₅⁵=120個．
滿足a₁＜a₂，a₂＞a₃，a₃＜a₄，a₄＞a₅的排列中，
若a₁，a₃，a₅取集合{1，2，3}中的元素，a₂，a₄取集合{4，5}中的元素，都符合要求，有A₃³A₂²=12個．
若a₁，a₃，a₅取集合{1，2，4}中的元素，a₂，a₄取集合{3，5}中的元素，
這時符合要求的排列只有1，3，2，5，4；2，3，1，5，4；4，5，1，3，2；4，5，2，3，1共4個．
故滿足條件的概率P=

A 3 3 A 2 2 +4

A 5 5

=

2

15

．
（2）隨機(jī)變量ξ可以取0，1，2，3，5．
P(ξ=5)=

1

A 5 5

=

1

120

，
P(ξ=3)=

C 3 5

A 5 5

=

1

12

，
P(ξ=2)=

2 C 2 5

A 5 5

=

1

6

，
P(ξ=1)=

9 C 1 5

A 5 5

=

3

8

，
P(ξ=0)=1-

1+ C 3 5 +2 C 2 5 +9 C 1 5

A 5 5

=

11

30

．
∴ξ的分布列為

∴ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ=0×

11

30

+1×

3

8

+2×

1

6

+3×

1

12

+5×

1

120

=1．

點評：求離散型隨機(jī)變量的分布列和期望是近年來理科高考必出的一個問題，題目做起來不難，運(yùn)算量也不大，只要注意解題格式就問題不大．