Question

9．已知函數f（x）=$\frac{1-x}{1+x}$．
（1）證明：f（x）在x∈（0，+∞）上單調遞減；
（2）設g（x）=log₂f（x），x∈（0，1），求g（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）利用函數的單調性的定義進行證明；
（2）求出f（x）的范圍，即可求g（x）的值域．

解答 （1）證明：$f（x）=-1+\frac{2}{x+1}$，任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
則$f（{x_1}）-f（{x_2}）=（-1+\frac{2}{{{x_1}+1}}）-（-1+\frac{2}{{{x_2}+1}}）=\frac{{2（{x_2}-{x_1}）}}{{（{x_1}+1）（{x_2}+1）}}$，
∵x∈（0，+∞），∴x₁+1＞0，x₂+1＞0，又x₁＜x₂，∴x₂-x₁＞0，∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），∴f（x）在x∈（0，+∞）上的單調遞減．
（2）解：$f（x）=-1+\frac{2}{x+1}$，
因為0＜x＜1，所以1＜x+1＜2，所以$1＜\frac{2}{x+1}＜2$，
即0＜f（x）＜1，
又因為y=log₂t單調遞增，所以g（x）值域為（-∞，0）．

點評 本題考查函數單調性的證明，考查函數的值域，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．