Question

13．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的兩焦點分別為F₁，F₂，點D是橢圓C上一動點當△DF₁F₂的面積取得最大值1時，△DF₁F₂為直角三角形．
（1）橢圓C的方程．
（2）已知點P是橢圓C上的一點，則過點P（x₀，y₀）的切線的方程為$\frac{x{x}_{0}}{{a}^{2}}$+$\frac{y{y}_{0}}{{b}^{2}}$=1．過直線l：x=2上的任意點M引橢圓C的兩條切線，切點分別為A，B，求證：直線AB恒過定點．

Answer 1

分析 （1）當D在橢圓的短軸端點時，△DF₁F₂的面積取得最大值，得b，c，a，
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（2，t），則直線AM：$\frac{{x}_{1}x}{2}+{y}_{1}y=1$，BM：$\frac{{x}_{2}x}{2}+{y}_{2}y=1$，
M（2，t）在直線AM、BM上，得x₁+ty₁=1，x₂+ty₂=1．直線AB的方程為：x+ty=1

解答 解：（1）當D在橢圓的短軸端點時，△DF₁F₂的面積取得最大值．
依據$\left\{\begin{array}{l}{bc=1}\\{b=c}\end{array}\right.$，解得b=c=1，a²=b²+c²=2，
∴橢圓C的方程：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$．
（2）證明：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（2，t），
則直線AM：$\frac{{x}_{1}x}{2}+{y}_{1}y=1$，BM：$\frac{{x}_{2}x}{2}+{y}_{2}y=1$，
∵M（2，t）在直線AM、BM上，
∴x₁+ty₁=1，x₂+ty₂=1．
∴直線AB的方程為：x+ty=1，顯然直線過定點（1，0）．

點評 本題考查了橢圓的切線問題，及直線過定點的處理，屬于中檔題．