Question

20．已知曲線C₁的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數），曲線C₂的極坐標方程為ρ=-2cosθ+4sinθ．
（Ⅰ）將曲線C₁的參數方程化為普通方程，曲線C₂的極坐標方程化為直角坐標方程．
（Ⅱ）曲線C₁，C₂是否相交，若不相交，請說明理由；若交于一點，則求出此點的極坐標；若交于兩點，則求出過兩點的直線的極坐標方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）曲線C₁的參數方程消去參數，能求出曲線C₁的普通方程，由曲線C₂的極坐標方程能求出曲線C₂的直角坐標方程．
（Ⅱ）求出曲線C₁、C₂的交線為4x-4y=0，即x=y，由此能示出過兩點的直線的極坐標方程．

解答 解：（Ⅰ）∵曲線C₁的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數），
∴曲線C₁的普通方程為（x-1）²+y²=1，
∵曲線C₂的極坐標方程為ρ=-2cosθ+4sinθ，
∴曲線C₂的直角坐標方程為x²+y²+2x-4y=0．
（Ⅱ）曲線C₁是以C₁（1，0）為圓心，以r₁=1為半徑的圓，
曲線C₂是以C₂（-1，2）為圓心，以${r}_{2}=\frac{1}{2}\sqrt{4+16}$=$\sqrt{5}$為半徑的圓，
|C₁C₂|=$\sqrt{4+4}$=2$\sqrt{2}$∈（|r₁-r₂|，r₁+r₂），
∴曲線C₁，C₂交于兩點，
∵曲線C₁的普通方程為（x-1）²+y²=1，即x²+y²-2x=0，
曲線C₂的直角坐標方程為x²+y²+2x-4y=0．
∴曲線C₁、C₂的交線為4x-4y=0，即x=y，
∴過兩點的直線的極坐標方程為tanθ=1，即$θ=\frac{π}{4}$或θ=$\frac{5π}{4}$．

點評 本題考查曲線的直角坐標方程的求法，考查兩圓交線的極坐標方程的求法，考查極坐標方程、直角坐標方程、參數方程的互化，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．