Question

已知 

a

=(x，1)，

b

=(x-2，1)，

c

=(2，m)
（1）若 

a

∥

c

，

b

⊥

c

 求實數x，m的值；
（2）當x∈[-1，1]時，

a

•

b

=

a

•

c

恒成立，試確定實數m的范圍．

Answer 1

分析：（1）根據

a

∥

c

，

b

⊥

c

 求出x，m之間的關系，直接解方程組即可．
（2）分別表示出

a

•

b

=x²-2x+1，

a

•

c

=2x+m，要使

a

•

b

＜

a

•

c

恒成立，只需m小于x²-4x+1的最小值即可，從而求出m的取值范圍．

解答：解：（1）由

a

∥

c

得 mx-2=0
由

b

⊥

c

得 2（x-2）+m=0
解得 x=1，m=2
（2）∵

a

•

b

=x²-2x+1，

a

•

c

=2x+m
∴由題意得 x²-2x+1＞2x+m在[-1，1]上恒成立．即m＜x²-4x+1在[-1，1]上恒成立．
設g（x）=x²-4x+1，其圖象的對稱軸為直線x=2，
所以g（x）在[-1，1]上遞減，g（x）_min=g（1）=-2
故只需m＜g（x）_min，即m＜-2．

點評：本題考查了平面向量的平行與垂直以及二次函數的性質，綜合點比較多，應熟練靈活掌握．