Question

20．已知關于x的不等式|x-3|+|x-m|≥2m的解集為R．
（Ⅰ）求m的最大值；
（Ⅱ）已知a＞0，b＞0，c＞0，且a+b+c=m，求4a²+9b²+c²的最小值及此時a，b，c的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用|x-3|+|x-m|≥|（x-3）-（x-m）|=|m-3|，對x與m的范圍討論即可．
（Ⅱ）構造柯西不等式即可得到結論．

解答 解：（Ⅰ）∵|x-3|+|x-m|≥|（x-3）-（x-m）|=|m-3|
當3≤x≤m，或m≤x≤3時取等號，
令|m-3|≥2m，
∴m-3≥2m，或m-3≤-2m．
解得：m≤-3，或m≤1
∴m的最大值為1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）a+b+c=1．
由柯西不等式：（$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{9}$+1）（ 4a²+9b²+c²）≥（a+b+c）²=1，
∴4a²+9b²+c²≥$\frac{36}{49}$，等號當且僅當4a=9b=c，且a+b+c=1時成立．
即當且僅當a=$\frac{9}{49}$，b=$\frac{4}{49}$，c=$\frac{36}{49}$時，4a²+9b²+c²的最小值為$\frac{36}{49}$．

點評 本題主要考查了絕對值不等式的幾何意義和解法以及柯西不等式的構造思想．屬于中檔題．