Question

【題目】某研究所開發了一種新藥，測得成人注射該藥后血藥濃度y（微克/毫升）與給藥時間x（小時）之間的若干組數據，并由此得出y與x之間的一個擬合函數y＝40（0.6x﹣0.62x）（x∈[0，12]），其簡圖如圖所示.試根據此擬合函數解決下列問題：

（1）求藥峰濃度與藥峰時間（精確到0.01小時），并指出血藥濃度隨時間的變化趨勢；

（2）求血藥濃度的半衰期（血藥濃度從藥峰濃度降到其一半所需要的時間）（精確到0.01小時）.

Answer 1

【答案】（1）藥峰濃度為10，藥峰時間為1.36小時；注射該藥后血藥濃度逐漸增加，到1.36小時時達到峰值，然后血藥濃度逐漸降低；（2）2.36小時.

【解析】

（1）根據擬合函數利用換元法可求最值，結合單調性可得血藥濃度隨時間的變化趨勢；

（2）根據半衰期的含義解方程可求.

（1）由y＝40（0.6x﹣0.62x）（x∈[0，12]），

令0.6x＝t，t∈[0.612，1]，

則y＝40（0.6x﹣0.62x）＝40（﹣t2+t），

∴當t∈[0.612，1]，即，x1.36時，

y有最大值為10.

故藥峰濃度為10，藥峰時間為1.36小時；

由圖象可知，注射該藥后血藥濃度逐漸增加，到1.36小時時達到峰值，然后血藥濃度逐漸降低；

（2）在y＝40（0.6x﹣0.62x）中，取y＝5，得40（0.6x﹣0.62x）＝5，

即﹣8t2+8t﹣1＝0，解得t或t（舍），

即0.147，得x3.72.

故血藥濃度的半衰期為3.72﹣1.36＝2.36小時.