【題目】已知函數
.
（1）若
，討論函數
的單調性；
（2）設
，是否存在實數
，對任意
，
，
，有
恒成立？若存在，求出的范圍；若不存在，請說明理由.
【答案】（1）見解析（2）存在，
.
【解析】
（1）先求導
，再討論
的取值范圍，求出函數的單調區間即可；
（2）先假設存在實數，
，所以可設
，由此能得到：
，根據單調性的定義，令
，要使函數
在
上是增函數，只要函數在上的導數值大于等于
即可，繼而求出的范圍.
（1）函數
的定義域為
，
，
①若
，則
，
，且只在
時取等號，∴在上單調遞增；
②若
，則
，而
，∴
，當
時，
；當
及
時，
，所以在
上單調遞減，在
及上單調遞增；
③若
，則
，同理可得:在
上單調遞減，在
及
上單調遞增；
綜上，當時，在上單調遞減，在及上單調遞增；
當時，在上單調遞增；
當時，在上單調遞減，在及上單調遞增；
（2）
，
假設存在，對任意
，
，，有
恒成立，
不妨設
，要使恒成立，即必有
，
令，即
，
，
要使在上為增函數，
只要
在上恒成立，須有
，
，故存在時，對任意，，，有恒成立.
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【題目】已知
，直線
與函數
的圖象在
處相切，設
，若在區間[1，2]上，不等式
恒成立．則實數m（ ）
A. 有最大值
B. 有最大值e C. 有最小值e D. 有最小值
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某書店今年5月上架10種新書，且它們的首月銷量（單位：冊）情況為：100，50，100，150，150，100，150，50，100，100，頻率為概率，解答以下問題：
（1）若該書店打算6月上架某種新書，估計它首月銷量至少為100冊的概率；
（2）若某種最新出版的圖書訂購價為10元/冊，該書店計劃首月內按12元/冊出售，第二個月起按8元/冊降價出售，降價后全部存貨可以售出.試確定，該書店訂購該圖書50冊，100冊，還是150冊有利于獲得更多利潤？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓C的左、右焦點坐標分別是
，
，離心率是
，直線
與橢圓C交與不同的兩點M，N，以線段MN為直徑作圓P,圓心為P．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若圓P與x軸相切，求圓心P的坐標；
（Ⅲ）設Q（x，y）是圓P上的動點，當t變化時，求y的最大值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，
是拋物線
的焦點，過點且與坐標軸不垂直的直線交拋物線于
、
兩點，交拋物線的準線于點
，其中
，
．過點作
軸的垂線交拋物線于點
，直線
交拋物線于點
.
（1）求
的值；
（2）求四邊形
的面積
的最小值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
，
，
，其中
為正實數，
為自然對數的底數.
（1）求函數
的單調區間；
（2）是否存在實數，使得對任意給定的
，在區間
上總存在兩個不同的
，
，使得
成立？若存在，求出正實數的取值范圍；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，幾何體
中，
，
均為邊長為2的正三角形，且平面
平面
，四邊形
為正方形.
（1）若平面
平面
，求證:平面
平面
；
（2）若二面角
為
，求直線
與平面
所成角的正弦值.
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