Question

【題目】已知橢圓C的左、右焦點坐標分別是，，離心率是，直線與橢圓C交與不同的兩點M，N，以線段MN為直徑作圓P,圓心為P．

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）若圓P與x軸相切，求圓心P的坐標；

（Ⅲ）設Q（x，y）是圓P上的動點，當t變化時，求y的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（0，）（Ⅲ）2.

【解析】

解:(1)因為=,且c=,

所以a=,b==1.

所以橢圓C的方程為+y2=1.

(2)由題意知P(0,t)(-1<t<1).

由

得x=±.

所以圓P的半徑為.

當圓P與x軸相切時,|t|=.

解得t=±.

所以圓心P的坐標是（0,±）.

(3)由(2)知,圓P的方程為x2+(y-t)2=3(1-t2).

因為點Q(x,y)在圓P上,

所以y=t±≤t+.

設t=cos θ,θ∈(0,π),

則t+=cos θ+sin θ=2sin（θ+）.

當θ=,即t=,且x=0時,y取最大值2.