Question

某校學生參加了“鉛球”和“立定跳遠”兩個科目的體能測試，每個科目的成績分為A，B，C，D，E五個等級，分別對應5分，4分，3分，2分，1分，該校某班學生兩科目測試成績的數據統計如圖所示，其中“鉛球”科目的成績為E的學生有8人．

（Ⅰ）求該班學生中“立定跳遠”科目中成績為A的人數；
（Ⅱ）若該班共有10人的兩科成績得分之和大于7分，其中有2人10分，2人9分，6人8分．從這10人中隨機抽取兩人，求兩人成績之和ξ的分布列和數學期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,離散型隨機變量及其分布列

專題：概率與統計

分析：（I）利用數據統計圖求出該班有40人，由此能求出該班學生中“立定跳遠”科目中成績等級為A的人數．
（II）設兩人成績之和為ξ，則ξ的值可以為16，17，18，19，20，分別求出相應的概率，由此能求出兩人成績之和ξ的分布列和數學期望．

解答： 解：（I）因為“鉛球”科目中成績等級為E的考生有8人，
所以該班有8÷0.2=40人，
所以該班學生中“立定跳遠”科目中成績等級為A的人數為
40×（1-0.375-0.375-0.15-0.025）=40×0.075=3．…（4分）
（II）設兩人成績之和為ξ，則ξ的值可以為16，17，18，19，20  …（6分）
P(ξ=16)=

C 2 6

C 2 10

=

15

45

，
P(ξ=17)=

C 1 6 C 1 2

C 2 10

=

12

45

，
P(ξ=18)=

C 1 6 C 1 2

C 2 10

+

C 2 2

C 2 10

=

13

45

，
P(ξ=19)=

C 1 2 C 1 2

C 2 10

=

4

45

，
P(ξ=20)=

C 2 2

C 2 10

=

1

45

…（10分）
所以ξ的分布列為

X	16	17	18	19	20
P	15 45	12 45	13 45	4 45	1 45

所以Eξ=16×

15

45

+17×

12

45

+18×

13

45

+19×

4

45

+20×

1

45

=

86

5

．
所以ξ的數學期望為

86

5

．…（12分）

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和數學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意數據統計圖的合理運用．