Question

【題目】現有甲，乙兩種不透明充氣包裝的袋裝零食，每袋零食甲隨機附贈玩具，，中的一個，每袋零食乙從玩具，中隨機附贈一個.記事件：一次性購買袋零食甲后集齊玩具，，；事件：一次性購買袋零食乙后集齊玩具，.

（1）求概率，及；

（2）已知，其中，為常數，求.

Answer 1

【答案】（1），，；（2）

【解析】

（1）一次性購買4袋零食甲獲得玩具的情況共有種不同的可能，其中能夠集齊三種玩具的充要條件是，，三個玩具中，某個玩具出現兩次，其余玩具各出現一次， 計算得到概率，同理可得答案.

（2）記，，計算，得到，利用累加法計算得到答案.

（1）一次性購買4袋零食甲獲得玩具的情況共有種不同的可能，

其中能夠集齊三種玩具的充要條件是，，三個玩具中，某個玩具出現兩次，其余玩具各出現一次，對應的可能性為，故，

一次性購買5袋零食甲獲得玩具的情況共有不同的可能，

其中能夠集齊三種玩具的充要條件是，，三個玩具中，某個玩具出現三次，其余玩具各出現一次或某兩個玩具各出現兩次，另一個玩具出現一次，對應的可能性分別為，，

故.

一次性購買4袋零食乙獲得玩具的情況共有種不同的可能，

其中不能集齊兩種玩具的情況只有2種，即全是，全是，故.

（2）記，，根據題意及（1）的計算，不難整理得下表：

	1	2	3	4	5
	0	0
	0				…

由于的對立事件總是2種情形（即全是，全是），

容易得到.

為解出待定系數，，令，即，

解得或（舍去，因為）.

故，即，

同理，

……

，

累加可得（）.

當時，適合上式，∴.