Question

4．如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是平行四邊形，側面PAD是邊長為2的正三角形，AB=BD=$\sqrt{5}$，PB=$\sqrt{7}$
（Ⅰ）求證：平面PAD⊥平面ABCD；
（Ⅱ）設Q是棱PC上的點，當PA∥平面BDQ時，求QB與面ABCD成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AD中點O，連結OP，OB，求解三角形可得OP⊥AD，OP⊥OB，再由線面垂直的判定可得OP⊥平面ABCD，進一步得到平面PAD⊥平面ABCD；
（Ⅱ）連接AC交BD于G，連接QG，由線面平行的性質可得PA∥QG，則Q為PC的中點．過Q作QH⊥平面ABCD，垂足為H，則QH=$\frac{1}{2}PO=\frac{\sqrt{3}}{2}$．然后證明BC⊥平面POB，得BC⊥PB，求解直角三角形可得BQ，則QB與面ABCD成角的正弦值可求．

解答 （Ⅰ）證明：取AD中點O，連結OP，OB，
∵PAD是邊長為2的正三角形，∴$OP⊥AD，OP=\sqrt{3}$，
∵$AB=BD=\sqrt{5}∴OB⊥AD，OB=2$，
∴OB²+OP²=PB²，則OP⊥OB，
∵OB∩AD=O，∴OP⊥平面ABCD，
又OP?平面PAD，∴平面PAD⊥平面ABCD；
（Ⅱ）解：連接AC交BD于G，連接QG，
∵PA∥平面BDQ，∴PA∥QG，
又G為AC的中點，∴Q為PC的中點．
過Q作QH⊥平面ABCD，垂足為H，則QH=$\frac{1}{2}PO=\frac{\sqrt{3}}{2}$．
連接QB，BH，則∠QBH為QB與面ABCD所成角，
∵PO⊥平面ABCD，∴OP⊥BC，
又OB⊥AD，AD∥BC，∴OB⊥BC，
∵PO∩OB=O，∴BC⊥平面POB，則BC⊥PB．
在Rt△PBC中，由PB=$\sqrt{7}$，BC=2，可得PC=$\sqrt{11}$，
則BQ=$\frac{1}{2}PC=\frac{\sqrt{11}}{2}$．
∴sin∠QBH=$\frac{QH}{QB}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{11}}{2}}=\frac{\sqrt{33}}{11}$．
即QB與面ABCD成角的正弦值為$\frac{{\sqrt{33}}}{11}$．

點評 本題考查平面與平面垂直的判定，考查空間想象能力和思維能力，考查線面角的求法，正確找出線面角是關鍵，是中檔題．